题目信息

源地址：寻找两个正序数组的中位数

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数。

算法的时间复杂度应该为 $O(log (m+n))$。

提示信息

示例 1

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示

  • nums1.length == m
  • nums2.length == n
  • 0 <= m <= 1000
  • 0 <= n <= 1000
  • 1 <= m + n <= 2000
  • -10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6

实现逻辑

归并法

最先想到的解题方法就是，将两个有序数组合并成一个有序数组，然后再对结果集计算中位数。这种方法算是一个比较直接的思路。

但是，合并两个数组是此方法最耗时的操作，并且达到 $O(m+n)$ 的时间复杂度，因此，并不符合题目中算法时间复杂度达到 $O(log (m+n))$ 的要求。

而且，采用此方法的空间复杂度，也达到了 $O(m+n)$ 的程度，其空间占用也不算优。

package cn.fatedeity.algorithm.leetcode;

public class MedianOfTwoSortedArrays {
    public double answer(int[] nums1, int[] nums2) {
        int i = 0, j = 0;
        int[] numbers = new int[nums1.length + nums2.length];
        int index = 0;
        while (i < nums1.length || j < nums2.length) {
            if (i == nums1.length) {
                for (int k = j; k < nums2.length; k++) {
                    numbers[index++] = nums2[k];
                }
                break;
            } else if (j == nums2.length) {
                for (int k = i; k < nums1.length; k++) {
                    numbers[index++] = nums1[k];
                }
                break;
            }

            if (nums1[i] < nums2[j]) {
                numbers[index++] = nums1[i++];
            } else if (nums2[j] < nums1[i]) {
                numbers[index++] = nums2[j++];
            } else {
                numbers[index++] = nums1[i++];
                numbers[index++] = nums2[j++];
            }
        }
        if ((numbers.length & 1) == 0) {
            // 数组长度是偶数
            int mid = numbers.length >> 1;
            return (numbers[mid - 1] + numbers[mid]) / 2f;
        } else {
            return numbers[numbers.length >> 1];
        }
    }
}

双指针

面对两个数组，也可以采用双指针的方式，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知。

基本思路就是，通过双指针将两个数组中较小的值一个一个地过滤掉，直到过滤到中位数的下标位置，即可得到两个数组的中位数。

整个方法相较归并法更优，空间复杂度直接降到了 $O(1)$ 的程度，在运行效率上，其只循环了 $\frac{m+n}2$ 次，但时间复杂度仍然是 $O(n)$，未达到题目中 $O(log (m+n))$ 的要求。

package cn.fatedeity.algorithm.leetcode;

public class MedianOfTwoSortedArrays {
    public double answer(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int len = m + n;
        int mStart = 0, nStart = 0;
        int left = 0, right = 0;
        for (int i = 0; i <= len >> 1; i++) {
            left = right;
            if (mStart < m && (nStart >= n || nums1[mStart] < nums2[nStart])) {
                right = nums1[mStart++];
            } else {
                right = nums2[nStart++];
            }
        }
        if ((len & 1) == 0) {
            return (left + right) / 2f;
        } else {
            return right;
        }
    }
}